点到平面的距离公式向量法推导（A-level高数vector部分公式证明）

学习Alevel高数的同学们一定有对vector感到头疼的经历，不仅公式繁多，而且有些公式还想不明白为什么是这样，虽然考试并不考公式证明，但不明白的东西就记不住或者用起来不踏实，学校和课本上又讲得不是很清楚，所以现在老师就把vector的一些公式证明一下。这些公式包括：

1. 两个向量的向量积（俗称的叉乘）性质

2. 两个向量夹角的sin

3. 点到直线的距离

4. 点到平面的距离

5. 用向量表示的三角形面积

6. 用向量表示的四面体体积

7. 异面直线的最短距离

限于篇幅，这篇文章只证明1-4，剩余的5-7下次再写，请童鞋们关注正领睿学公众号以免错过哟

设两个向量是：

1.两个向量的向量积与这两个向量都垂直

要证明这个结论，只需要验证向量积与这两个向量点乘都等于0就行了。

2.两个向量夹角的sin是

要证明这个公式，只要验证它的平方和两个向量夹角的cos平方加起来等于1就行了。

这个计算量比较大，我们不需要把分子分母完全展开，只需要观察一下分母如果展开，其中的每一项分子上都有，并且分子上没有更多的项，这样分子和分母就相等了，所以整个分式等于1

3.点到直线的距离

如图，设点A的position vector是OA，直线方程是r=p+td，这里的p和d分别表示直线的position vector OP和direction vector，我们就用单个字母表示vector，不需要写出里面的每个数字。从A向直线作垂线，垂足是F，并连接A和P。

在直角三角形APF中，斜边是|OA-p|，我们要求直角边|AF|，只需要再有sinAPF就行了。而角APF可以看成向量OA-p和d的夹角，所以

4.点到平面的距离

如图，设点A的position vector是OA，平面方程是r·n=d，这里的n和d分别表示平面的normal vector和一个常数。从A向平面作垂线，垂足是F，并连接A和平面上任意一个点P

在直角三角形APF中，斜边是|OA-OP|，我们要求直角边|AF|，只需要再有cosPAF就行了。而角PAF可以看成向量OP-OA和n的夹角，所以

其中OP·n=d是因为P是平面上的点，所以OP可以代入平面方程里的r